Question

3．已知点A（0，-1），B（3，0），C（1，2），平面区域P是由所有满足$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（2＜λ≤m，2＜μ≤n）的点M组成的区域，若区域P的面积为16，则m+n的最小值为4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设M（x，y），作出平面区域，根据面积得出关于m，n的等式，利用基本不等式得出最值．

解答 解：设M（x，y），$\overrightarrow{AB}$=（3，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，3）．|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{10}$．
cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3}{5}$，∴sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{4}{5}$．
令$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AC}$，以AM，AN为邻边作平行四边形AMEN，
令$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow{AC}$，以AP，AQ为邻边作平行四边形APGQ，
∵$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（2＜λ≤m，2＜μ≤n），
∴符合条件的M组成的区域是平行四边形EFGH，如图所示．
∴$\sqrt{10}$（m-2）•$\sqrt{10}$（n-2）×$\frac{4}{5}$=16．即（m-2）（n-2）=2．
∵（m-2）（n-2）≤$\frac{（m+n-4）^{2}}{4}$，∴2≤$\frac{（m+n-4）^{2}}{4}$，
解得m+n≥4+2$\sqrt{2}$．
故答案为：4+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量的几何意义，基本不等式，根据区域面积得出关于m，n的关系是解题关键．