Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos（B-C）=1+4sinBsinC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2$\sqrt{7}$，△ABC的面积2$\sqrt{3}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得$cos（{B+C}）=\frac{1}{2}$，结合范围0＜B+C＜π，利用三角形内角和定理即可得解A的值．
（2）由（1）及三角形面积公式可求bc=8，又利用余弦定理可得（b+c）²-bc=28．从而可求b+c的值．

解答 （本题满分12分）
解：（1）由2cos（B-C）=1+4sinBsinC，
得2（cosBcosC+sinBsinC）-4sinBsinC=1，
即2（cosBcosC-sinBsinC）=1，
亦即2cos（B+C）=1，
∴$cos（{B+C}）=\frac{1}{2}$．
∵0＜B+C＜π，
∴$B+C=\frac{π}{3}$，
∵A+B+C=π，
∴$A=\frac{2π}{3}$…（6分）
（2）由（1）得$A=\frac{2π}{3}$．由$S=2\sqrt{3}$，得$\frac{1}{2}bcsin\frac{2π}{3}=2\sqrt{3}$，
∴bc=8．①
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得${（{2\sqrt{7}}）^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{2π}{3}$，即b²+c²+bc=28．
∴（b+c）²-bc=28．②，
将①代入②，
得（b+c）²-8=28，
∴b+c=6…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．