Question

16．f（x）是定义在R上的竒函数，且满足f（l-x）=f（l+x），又当x∈〔0，1）时，f（x）=2^x-1，则f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$6）的值等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{5}{6}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 由题意可知：x∈（-1，0）时，f（x）=-f（-x）=2-^x-1，则-3＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$6＜-2，由题意可知：f（x）是周期为2的函数，由-1＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$6+2＜0，f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$6）=f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$6+2）=f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{3}{2}$），即可求得f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$6）的值．

解答 解：∵x∈〔0，1）时，f（x）=2^x-1，
∴x∈（-1，0）时，f（x）=-f（-x）=2^-x-1，
∵4＜6＜8，
∴-3＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$6＜-2，
又f（l-x）=f（l+x），f（x）=f（2+x），
∴f（x）是周期为2的函数，
∵-1＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$6+2＜0，
∴f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$6）=f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$6+2）=f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{3}{2}$）=-${2}^{-lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}}$+1=-$\frac{3}{2}$+1=-$\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查函数的奇偶性及周期性，考查对数函数的运算性质，考查计算能力，属于中档题．