Question

2．已知AB是圆C：（x+2）²+（y-l）²=$\frac{2}{5}$的一条直径，若楠圆x²+4y²=4b²（b∈R）经过 A、B 两点，则该椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{\frac{216}{25}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{54}{25}}$=1．

Answer 1

分析 易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为y=k（x+2）+1，代入x²+4y²=4b²，利用|AB|=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$，即可得出结论．

解答 解：由依题意，圆心M（-2，1）是线段AB的中点，且|AB|=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$．
由题意知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为y=k（x+2）+1，代入x²+4y²=4b²得：（1+4k²）x²+8k（2k+1）x+4（2k+1）²-4b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{8k（2k+1）}{{1+4{k^2}}}$，$x•{x_2}=\frac{{4{{（2k+1）}^2}-4{b^2}}}{{1+4{k^2}}}$，
由x₁+x₂=-4，得${x_1}+{x_2}=-\frac{8k（2k+1）}{{1+4{k^2}}}$=-4，解得k=$\frac{1}{2}$．
从而x₁x₂=8-2b²．
于是|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{10（{b}^{2}-2）}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$．
解得b²=$\frac{54}{25}$．
故椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{216}{25}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{54}{25}}$=1．
故答案为$\frac{{x}^{2}}{\frac{216}{25}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{54}{25}}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．