Question

17．如图，在△ABC中，M是边BC上的点，且tan∠BAM=$\frac{1}{3}$，tan∠AMC=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设α+β=B（α＞0，β＞0），求$\sqrt{2}$sinα-sinβ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用两角差的正切函数公式可求tanB的值，结合范围0＜B＜π，可求B的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B=$\frac{3π}{4}$，可得$β=B-α=\frac{3π}{4}-α$，利用三角函数恒等变换的应用化简可得$\sqrt{2}$sinα-sinβ=sin（α-$\frac{π}{4}$），结合范围$0＜α＜\frac{3π}{4}$，利用正弦函数的图象和性质可求其取值范围．

解答 解：（Ⅰ）$tanB=tan（∠AMC-∠BAM）=\frac{{-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}}{{1+（-\frac{1}{2}）•\frac{1}{3}}}=-1$，
∵0＜B＜π，
∴$B=\frac{3π}{4}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B=$\frac{3π}{4}$，
∵α+β=B，∴$β=B-α=\frac{3π}{4}-α$，
∴$\sqrt{2}sinα-sinβ=\sqrt{2}sinα-sin（\frac{3π}{4}-α）$
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinα-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosα$=$sin（α-\frac{π}{4}）$，
∵$0＜α＜\frac{3π}{4}$，
∴$-\frac{π}{4}＜α-\frac{π}{4}＜\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜sin（α-\frac{π}{4}）＜1$，
∴$\sqrt{2}sinα-sinβ$的取值范围是$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$．

点评 本题主要考查了两角差的正切函数公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．