Question

6．已知函数$f（x）=lnx+tanα（α∈（0，\frac{π}{2}））$的导函数为f′（x），若存在0＜x₀＜1使得f′（x₀）=f（x₀）成立，则实数α的取值范围是（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 由于f′（x）=$\frac{1}{x}$，f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，f′（x₀）=f（x₀），可得$\frac{1}{{x}_{0}}$=ln x₀+tan α，即tan α=$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x₀，由0＜x₀＜1，可得$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x₀＞1，即tan α＞1，即可得出．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，f′（x₀）=f（x₀），
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$=ln x₀+tan α，
∴tan α=$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x₀，
又∵0＜x₀＜1，
∴可得$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x₀＞1，即tan α＞1，
∴α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
故答案为：（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题考查了导数的运算法则、对数函数和正切函数的单调性，属于中档题．