Question

4．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有 $\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0成立．
（1）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数；
（2）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＞f（2x-1）；
（3）若f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间[-1，1]任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，利用函数为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得f（x₁）-f（x₂）＜0，所以函数f（x）是[-1，1]上的增函数．
（2）根据函数的单调性得到关于x的不等式组，解得即可，
（3）根据函数f（x）≤m²-2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．

解答 解：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，f（x）是奇函数
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+（-{x}_{2}）}$（x₁-x₂）
∵$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0，即$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+（-{x}_{2}）}$＞0，
∵x₁+（-x₂）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
则f（x）是[-1，1]上的增函数． 
（2）f（x）是[-1，1]上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}＜2x-1}\\{-1＜x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤2x-1＜1}\end{array}\right.$，
解得0≤x≤$\frac{1}{2}$，
故不等式的解集为[0，$\frac{1}{2}$]，
（3）∵f（x）是[-1，1]上的增函数，
∴f（x）_max=f（1）=1，
∴m²-2am+1≥1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am≥0恒成立，
当m=0时，0≥0成立，
当m≠0时，令g（a）=-2ma+m²，g（a）是关于a∈[-1，1]的一次函数，
只须$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=-2m+{m}^{2}≥0}\\{g（-1）=2m+{m}^{2}≥0}\end{array}\right.$，
解得m≤-2或m≥2或m=0
综上所述m=0，或m≤-2或m≥2

点评 本题考查了抽象函数的单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．