Question

11．已知焦点在x轴上的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，其离心率为$\frac{1}{2}$，过椭圆左焦点F₁与上顶点B的直线为l₀．
（1）求椭圆的方程及直线l₀的方程；
（2）直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，点P是椭圆上异于M，N的一点．
①求证：当直线PM，PN存在斜率时，两直线的斜率之积为定值，即k_PM•k_PN为定值；
②当直线l与点P满足什么条件时，△PMN有最大面积？并求此最大面积．

Answer 1

分析 （1）由已知求得a，b，得椭圆的方程，进而得到直线l₀的方程；
（2）①点P（x₀，y₀）是椭圆上的任意一点，依题意不妨设点M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），求出PM，PN的斜率，则结论可证；
②不妨设点P（$2cosθ，\sqrt{3}cosθ$），M（$2cosα，\sqrt{3}sinα$），θ，α∈R，而根据对称性求出△PMN的面积，从而可得△MPN的面积有最大值．

解答 （1）解：由已知，有$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
其左焦点F₁（-1，0），上顶点B（0，$\sqrt{3}$），则直线l₀的方程为$y=\sqrt{3}（x+1）$；
（2）①证明：点P（x₀，y₀）是椭圆上的任意一点，依题意不妨设点M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．
${k}_{PM}=\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}，{k}_{PN}=\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，
∴${k}_{PM}•{k}_{PN}=\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{3}{4}$为定值．
②不妨设点P（$2cosθ，\sqrt{3}cosθ$），M（$2cosα，\sqrt{3}sinα$），θ，α∈R，
而根据对称性，有S_△MPN=2S_△MOP=$|\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{OP}|sin$＜$\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{OP}$＞
=$|\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{OP}|\sqrt{1-（\frac{\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{OP}|}）^{2}}$=$\sqrt{（\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OP}）^{2}-（|\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{OP}|）^{2}}$
=$\sqrt{（4cosθcosα+3sinθsinα）^{2}-（4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ）（4co{s}^{2}α+3si{n}^{2}α）}$=$2\sqrt{3}|sin（θ-α）|$，
当sin（θ-α）=1，即$θ-α=kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z时，△MPN的面积有最大值．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．