Question

19．已知a＞2，b＞2，直线$y=-\frac{b}{a}x+b$与曲线（x-1）²+（y-1）²=1只有一个公共点，则ab的取值范围为（　　）

• A． $（4，6+4\sqrt{2}）$
• B． $（4，6+4\sqrt{2}]$
• C． $[6+4\sqrt{2}，+∞）$
• D． $（6+4\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 由题意，圆心到直线的距离d=$\frac{|-\frac{b}{a}-1+b|}{\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}+1}}$=1，化简可得2（a+b）=ab+2≥4$\sqrt{ab}$，即可确定ab的取值范围．

解答 解：由题意，圆心到直线的距离d=$\frac{|-\frac{b}{a}-1+b|}{\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}+1}}$=1，化简可得2（a+b）=ab+2≥4$\sqrt{ab}$，
∵a＞2，b＞2，∴ab≥6+4$\sqrt{2}$，
故选C．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．