Question

12．已知抛物线y²=2px（p＞0），△ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y₁，y₂，y₃．若直线AB，BC，AC的斜率之和为-1，则$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$的值为（　　）

• A． -$\frac{1}{2p}$
• B． -$\frac{1}{p}$
• C． $\frac{1}{p}$
• D． $\frac{1}{2p}$

Answer 1

分析 设AB，BC，AC的方程，联立方程组消元，利用根与系数的关系解出y₁，y₂，y₃，根据斜率之和为-1化简$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$即可得出答案．

解答 解：设AB的方程为x=m₁y+t₁，BC的方程为x=m₂y+t₂，AC的方程为x=m₃y+t₃，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{x={m}_{1}y+{t}_{1}}\end{array}\right.$，消元得：y²-2pm₁y-2pt₁=0，
∴y₁=pm₁，
同理可得：y₂=pm₂，y₃=pm₃，
∵直线AB，BC，AC的斜率之和为-1，∴$\frac{1}{{m}_{1}}$+$\frac{1}{{m}_{2}}$+$\frac{1}{{m}_{3}}$=-1．
∴则$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{1}{p{m}_{1}}$+$\frac{1}{p{m}_{2}}$+$\frac{1}{p{m}_{3}}$=$\frac{1}{p}$（$\frac{1}{{m}_{1}}$+$\frac{1}{{m}_{2}}$+$\frac{1}{{m}_{3}}$）=-$\frac{1}{p}$．
故选：B．

点评 本题考查了直线与抛物线的交点坐标，根与系数的关系，属于中档题．