Question

11．直线l：y=kx-1与曲线C：（x²+y²-4x+3）y=0有且仅有2个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{4}{3}）$
• B． $（0，\frac{4}{3}]$
• C． $\{\frac{1}{3}，1，\frac{4}{3}\}$
• D． $\{\frac{1}{3}，1\}$

Answer 1

分析 求出直线l：y=kx-1与曲线C相切时k的值，即可求得实数k的取值范围．

解答 解：如图所示，直线y=kx-1过定点A（0，-1），
直线y=0和圆（x-2）²+y²=1相交于B，C两点，
圆（x-2）²+y²=1的圆心O（2，0），半径r=1，
k_AB=$\frac{0-（-1）}{3-0}$=$\frac{1}{3}$，k_AC=$\frac{0-（-1）}{1-0}$=1，
过A（0，-1）作圆O的切线AE、AD，切点分别为E，D，连结AO，
由题意E（2，-1），设∠OAE=α，则∠DAE=2α，
k_AO=tanα=$\frac{0+1}{2-0}$=$\frac{1}{2}$，
∴k_AD=tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
∵直线l：y=kx-1与曲线C：x²+y²-4x+3=0有且仅有2个公共点，
∴结合图形得k=$\frac{1}{3}$，或k=1，或k=$\frac{4}{3}$，
∴实数k的取值范围是{$\frac{1}{3}，1，\frac{4}{3}$}．
故选：C．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，考查数形结合的数学思想，是中档题．