题目内容

已知m≥1，n≥1，且 $数学公式$ ，（a＞1），则log_a（mn）的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：令log_am=x，（x＞0），log_an=y（y＞0），可得到（x-1）²+（y-1）²=4，再通过三角换元即可求得答案．
解答：依题意，令log_am=x，（x＞0），log_an=y（y＞0），
则log²_am=x²，log²_an=y²， $\text{[math]}$ =2（log_aa+log_am）=2+2x，同理可得， $\text{[math]}$ =2+2y，
∴log²_am+log²_an- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ -（-2）
=x²+y²-2x-2-2y-2+2=0，
∴（x-1）²+（y-1）²=4，
令x-1=2cosθ，y-1=2sinθ，
则x=1+2cosθ，y=1+2sinθ，
∴log_a（mn）=log_am+log_an=x+y=1+2cosθ+1+2sinθ=2+2 $\text{[math]}$ sin（θ+ $\text{[math]}$ ）≤2+2 $\text{[math]}$ ．
故答案为：2+2 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查对数的运算性质，考查三角换元，考查转化思想与抽象思维能力，属于难题．