Question

5．f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点（$\frac{4π}{3}$，0）成中心对称，且-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，则函数y=f（x+$\frac{π}{3}$）为奇函数（“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”），且单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z．

Answer 1

分析 由题意根据余弦函数的图象的对称性求得φ的值，可得函数的解析式，再利用诱导公式求得f（x+$\frac{π}{3}$）的解析式，结合正弦函数的奇偶性和单调性，求得函数y=f（x+$\frac{π}{3}$）的单调减区间．

解答 解：∵f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点（$\frac{4π}{3}$，0）成中心对称，且-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴2•$\frac{4π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即φ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
则函数y=f（x+$\frac{π}{3}$）=cos[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-sin2x，为奇函数．
再令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
可得函数y=f（x+$\frac{π}{3}$）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z，
故答案为：奇；[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查余弦函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．