题目内容
设函数f（x）=ex+2x-a（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（ ）
| A、[1，e] |
| B、[1，1+e] |
| C、[e，1+e] |
| D、[0，1] |
考点：指数函数的图像与性质
专题：函数的性质及应用
分析：利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．
解答：解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f-1（b）
其中f-1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f-1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
∴ex+2x-a=x
∴a=ex+x
设g（x）=ex+x
则g′（x）=ex+1＞0在[0，1]上恒成立，
∴g（x）=ex+x在[0，1]上递增，
∴g（0）=1+0=1，g（1）=e+1
∴a的取值范围是[1，1+e]，
故选：B
其中f-1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f-1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
∴ex+2x-a=x
∴a=ex+x
设g（x）=ex+x
则g′（x）=ex+1＞0在[0，1]上恒成立，
∴g（x）=ex+x在[0，1]上递增，
∴g（0）=1+0=1，g（1）=e+1
∴a的取值范围是[1，1+e]，
故选：B
点评：本题主要考察了复合函数的性质，综合性较强，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知f（3x）=log2
，则f（1）的值为（ ）
|
| A、1 | ||
| B、2 | ||
| C、-1 | ||
D、
|
若关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集是空集，则实数a的取值范围是（ ）
| A、（-∞，1] |
| B、（-∞，1） |
| C、[1，+∞） |
| D、（1，+∞） |
设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=2x-4，则{x|f（x-2）＞0}等于（ ）
| A、{x|x＜-2或x＞2} |
| B、{x|x＜-2或x＞4} |
| C、{x|x＜0或x＞6} |
| D、{x|x＜0或x＞4} |
已知f′（x0）=1则
的值为（ ）
| lim |
| △x→0 |
| f(x0+△x)-f(x0) |
| 2△x |
A、
| ||
| B、1 | ||
| C、2 | ||
D、-
|
若a=30.2，b=0.30.2，c=0.32，则（ ）
| A、a＞b＞c |
| B、b＞a＞c |
| C、c＞a＞b |
| D、b＞c＞a |
已知a=2-
，b=log2
，c=log
，则（ ）
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| A、a＞b＞c |
| B、a＞c＞b |
| C、c＞a＞b |
| D、c＞b＞a |