Question

4．已知函数f（x）=x²-ax+2lnx（其中a是实数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若设2（e+$\frac{1}{e}$）＜a＜$\frac{20}{3}$，且f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求f（x₁）-f（x₂）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定义域为（0，+∞），${f}^{'}（x）=2x-a+\frac{2}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-ax+2}{x}$，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出f（x）的单调区间．
（2）推导出f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}-{{x}_{1}}^{2}+4ln{x}_{1}$，令h（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-{x}^{2}+4lnx$，（$\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{\sqrt{e}}$），则${h}^{'}（x）=\frac{-2（{x}^{2}-1）^{2}}{{x}^{3}}$＜0恒成立，由此能求出f（x₁）-f（x₂）的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-ax+2lnx（其中a是实数），
∴f（x）的定义域为（0，+∞），${f}^{'}（x）=2x-a+\frac{2}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-ax+2}{x}$，…．（1分）
令g（x）=2x²-ax+2，△=a²-16，对称轴x=$\frac{a}{4}$，g（0）=2，
当△=a²-16≤0，即-4≤a≤4时，f′（x）≥0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．…（2分）
当△=a²-16＞0，即a＜-4或a＞4时，
①若a＜-4，则f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无减区间．…（3分）
②若a＞4，令f′（x）=0，得${x}_{1}=\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$，${x}_{2}=\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$，
当x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，x₁），（x₂，+∞），单调递减区间为（x₁，x₂）．…（4分）
综上所述：当a≤4时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．
当a＞4时，f（x）的单调递增区间为（0，x₁）和（x₂，+∞），单调递减区间为（x₁，x₂）．…（5分）
（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则a＞4，且x₁+x₂=$\frac{a}{2}$＞0，x₁x₂=1，∴0＜x₁＜1＜x₂，
又∵$2{{x}_{1}}^{2}-a{x}_{1}+2=0$，a=2（${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}$），$2（e+\frac{1}{e}）＜a＜\frac{20}{3}$，e+$\frac{1}{e}$＜${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}$＜3+$\frac{1}{3}$，
又0＜x₁＜1，解得$\frac{1}{3}＜{x}_{1}＜\frac{1}{e}$．…（7分）
∴f（x₁）-f（x₂）=（${{x}_{1}}^{2}-a{{x}^{\;}}_{1}+2ln{x}_{1}$）-（${{x}_{2}}^{2}-a{x}_{2}+2ln{x}_{2}$）
=（${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}$）-a（x₁-x₂）+2（lnx₁-lnx₂）
=（x₁-x₂）$•\frac{a}{2}$-a（x₁-x₂）+2ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
=-（${x}_{1}-\frac{1}{{x}_{1}}$）•（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）+4lnx₁
=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}-{{x}_{1}}^{2}+4ln{x}_{1}$，…（9分）
令h（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-{x}^{2}+4lnx$，（$\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{\sqrt{e}}$），
则${h}^{'}（x）=\frac{-2（{x}^{2}-1）^{2}}{{x}^{3}}$＜0恒成立，
∴h（x）在（$\frac{1}{3}，\frac{1}{e}$）单调递减，∴h（$\frac{1}{e}$）＜h（x）＜h（$\frac{1}{3}$），
即${e}^{2}-\frac{1}{{e}^{2}}$-4＜f（x₁）-f（x₂）＜$\frac{80}{9}$-4ln3，
故f（x₁）-f（x₂）的取值范围为（${e}^{2}-\frac{1}{{e}^{2}}-4$，$\frac{80}{9}-4ln3$）．…（12分）

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查函数值之差的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法、分类讨论思想的合理运用．