Question

18．四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，四边形ABCE为菱形，∠BAD=120°，G、F分别是线段CE，PB上的动点，且满足$\frac{PF}{PB}=\frac{CG}{CE}=λ∈（0，1）$
（1）求证：FG∥平面PDC；
（2）求λ的值，使得平面PAG⊥平面PCE．

Answer 1

分析 （1）延长BG交CD于Q，连PQ，BE，证明FG∥PQ，即可证得FG∥平面PCD；
（2）$λ=\frac{1}{2}$，连接AC，证明CE⊥平面PAG，即可得出平面PAG⊥平面PCE．

解答 （1）证明：延长BG交CD于Q，连PQ，BE，平行四边形BEDC，则BE∥CQ，∴$\frac{CG}{GE}=\frac{OG}{GB}$．
 又∵PF：FB=CG：GE，则QG：GB=PF：FB，∴FG∥PQ．
∵FG?平面PCD，PQ?平面PCD．
∴FG∥平面PCD
（2）解：$λ=\frac{1}{2}$，连接AC，
因为∠BAD=120°的菱形，所以△ACE为等边三角形，
所以CE⊥AG，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CE，PA∩AG=A
所以CE⊥平面PAG，
因为CE?平面PCE，所以面PAG⊥平面PCE．

点评 熟练掌握平行线分线段成比例定理、菱形的性质、线面平行的判定定理、面面垂直的判定，属于中档题．