Question

一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为

a

2

，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的

1

4

，已知到今年为止，森林面积为

2

2

a．
（1）求p%的值；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？

Answer 1

分析：（1）根据每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，根据每年砍伐面积的百分比，可建立方程，解之即可得到每年砍伐面积的百分比；
（2）设经过m年剩余面积为原来的

2

2

．根据题意：到今年为止，森林剩余面积为原来的

2

2

．可列出关于m的等式，解之即可；
（3）根据题意设从今年开始，以后砍了n年，再求出砍伐n年后剩余面积，由题意，建立关于n的不等关系，利用一些不等关系即可求得今后最多还能砍伐多少年．

解答：解：（1）由题意得：a(1-p%)10=

a

2

，即(1-p%)10=

1

2

，
解得：p%=1-(

1

2

)

1

10

（2）设经过m年森林面积为

2

2

a，则a(1-p%)m=

2

2

a，即(

1

2

)

m

10

=(

1

2

)

1

2

，

m

10

=

1

2

，解得m=5
故到今年为止，已砍伐了5年．
（3）设从今年开始，以后砍了n年，则n年后森林面积为

2

2

a(1-p%)n
令

2

2

a(1-p%)n≥

1

4

a，即（1-p%）ⁿ≥

2

4

，(

1

2

)

n

10

≥(

1

2

)

3

2

，

n

10

≤

3

2

，解得n≤15
故今后最多还能砍伐15年．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解法及指数式与对数式的互化．解决实际问题通常有四个步骤：
（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．