Question

9．已知函数f（x）=x²+2xsinθ-1，x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
（Ⅰ）当sinθ=-$\frac{1}{2}$，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是单调函数，且θ∈[0，2π]，求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题目条件，可以确定函数的解析式 f（x）=x2+x-1=（x+$\frac{1}{2}$）2-$\frac{5}{4}$，从而利用二次函数的单调性求得函数f（x）的最大值和最小值；
（2）由f（x）在 x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是单调增函数，利用对称轴与给定区间的关系，求出-sinθ≤-$\frac{1}{2}$即可得到θ的取值范围．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）当sinθ=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=x²-x-1=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
由 x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，当 x=$\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值为-$\frac{5}{4}$，
当x=-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）有最大值-$\frac{1}{4}$…（7分）
（2）f（x）=x²+2xsinθ-1的图象的对称轴为x=-sinθ，
要使f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是单调增函数，则-sinθ≤-$\frac{1}{2}$…（11分）
又∵θ∈[0，2π），
所求θ的取值范围是：θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]…（14分）

点评 本题主要考查了二次函数的单调性，利用配方求得其对称轴，结合三角函数的图象与性质解决问题，属于中档题．