Question

设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=9，a₇=13．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列，并求{b_n}通项公式；
（2）若c_n=b_na_n（n=1，2，3，…），T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）证明：由b_n=2-S_n可求b₁，当n≥2时，由b_n=2-S_n可得：b_n-1=2-S_n-1，两式相减可得b_n与b_n-1之间的递推关系，即可证明，然后结合等比数列的通项公式可求
（2）由数列{a_n}为等差数列，且a₅=9，a₇=13可求公差d，进而可求通项，代入c_n=b_na_n，结合数列的项的特点考虑利用错位相减求和

解答：（1）证明：由b_n=2-S_n可得b₁=2-S₁，
∴b₁=1
当n≥2时，由b_n=2-S_n可得：b_n-1=2-S_n-1可，
两式相减可得，b_n-b_n-1=-（s_n-s_n-1）=-b_n
∴bn=

1

2

bn-1
∴数列{b_n}是以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列
由等比数列的通项公式可得，bn=

1

2n-1

（2）∵数列{a_n}为等差数列，且a₅=9，a₇=13．
∴d=

a7-a5

2

=2
∴a_n=a₅+（n-5）d=9+2（n-5）=2n-1
从而c_n=b_na_n=

2n-1

2n-1

∴Tn=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

两式相减可得，

1

2

Tn=1+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=1+2•

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

3n+3

2n

∴Tn=6-

2n+3

2n-1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造证明等比数列，等比数列、等差数列的通项公式的应用及错位相减求和方法的应用，具有一定的综合性