Question

2．设函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$，若对x＞0恒有xf（x）+a＞0成立，则实数a的取值范围是a＞1-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 化简可得xf（x）=x•$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$=x+$\frac{2}{x}$-1，从而利用基本不等式求最值，即可解决恒成立问题．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$，
∴当x＞0时，xf（x）=x•$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$=x+$\frac{2}{x}$-1≥2$\sqrt{2}$-1（当且仅当x=$\frac{2}{x}$，即x=$\sqrt{2}$时，等号成立），
∴2$\sqrt{2}$-1+a＞0，
∴a＞1-2$\sqrt{2}$，
故答案为a＞1-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的化简与应用，同时考查了基本不等式在求最值的应用及恒成立问题．