Question

8．求下列函数的导数：
（1）y=x（x²+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$）；
（2）y=（$\sqrt{x}$+1）（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1）；
（3）y=sin⁴$\frac{x}{4}$+cos⁴$\frac{x}{4}$；
（4）y=$\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$+$\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$．

Answer 1

分析 根据导数的运算法进行求解即可．

解答 解：（1）y=x（x²+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$）=x³+1+$\frac{1}{{x}^{2}}$；则y′=3x²-$\frac{2}{{x}^{3}}$，
（2）y=（$\sqrt{x}$+1）（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1）=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$；则y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{2\sqrt{{x}^{3}}}$，
（3）y=sin⁴$\frac{x}{4}$+cos⁴$\frac{x}{4}$=（sin²$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$）²-2sin²$\frac{x}{4}$cos²$\frac{x}{4}$=1-$\frac{1}{2}$sin²$\frac{x}{2}$=1-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cosx}{2}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}$cosx；
则y′=-$\frac{1}{4}$sinx；
（4）y=$\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$+$\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$=$\frac{（1+\sqrt{x}）^{2}+（1-\sqrt{x}）^{2}}{（1-\sqrt{x}）（1+\sqrt{x}）}$=$\frac{2+2x}{1-x}$．
则y′=$\frac{2（1-x）+（2+2x）}{（1-x）^{2}}$=$\frac{4}{（1-x）^{2}}$．

点评 本题主要考查函数的导数的计算，根据条件先把函数进行化简，然后根据导数的运算法则进行求导即可．