Question

5．三棱锥S-ABC中，侧棱SA⊥平面ABC，底面ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，SA=2$\sqrt{3}$，则该三棱锥的外接球体积等于$\frac{32}{3}$π．

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解体积．

解答 解：根据已知中侧棱SA⊥平面ABC，底面ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，SA=2$\sqrt{3}$，
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，
∵△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=$\frac{1}{2}$SA=$\sqrt{3}$，
故球的半径R=$\sqrt{1+3}$=2．
三棱锥S-ABC外接球的体积为：$\frac{4}{3}$π×2³=$\frac{32}{3}$π．
故答案为：$\frac{32}{3}$π．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R公式是解答的关键．