Question

2．已知圆C：x²+y²+2x-3=0．
（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；
（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，求证：$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$为定值．

Answer 1

分析 （1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；
（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$的值．

解答 （1）解：圆C：x²+y²+2x-3=0，配方得（x+1）²+y²=4，
则圆心C的坐标为（-1，0），圆的半径长为2；
（2）证明：设直线l的方程为y=kx，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}+2x-3=0\\ y=kx\end{array}\right.$，
消去y得（1+k²）x²+2x-3=0，
则有：${x_1}+{x_2}=-\frac{2}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=-\frac{3}{{1+{k^2}}}$，
所以$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{2}{3}$为定值．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，考查方程组的应用，考查了转化思想，是综合性题目．