Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=DC=

1

2

DD₁，过A₁、B、C₁三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，E、F分别为A₁B、BC₁的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面A₁BC₁与平面ABCD的夹角θ的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由三角形中位线定理得EF∥A₁C₁，由平行公理得EF∥AC，由此能证明EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）以D为坐标轴原点，以DA、DC、DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABCD的一个法向量和平面A₁BC₁的一个法向量，由此利用向量法能求出平面A₁BC₁与平面ABCD的夹角θ的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵在△A₁BC₁中，E、F分别为A₁B、BC₁的中点，
∴EF∥A₁C₁，
∵在ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC∥A₁C₁，
∴EF∥AC，
∵EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）解：以D为坐标轴原点，以DA、DC、DD₁分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，不妨设AD=DC=

1

2

DD1=1，
则A（1，0，0），B（1，1，0），
C₁（0，1，2），D₁（0，0，2），
A₁（1，0，2），

A1B

=(0，1，-2)，

C1B

=(1，0，-2)，
∵DD₁⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为

DD1

=（0，0，2），
设平面A₁BC₁的一个法向量为

n

=（a，b，c），
则

n • A1B =0 n • C1B =0

，即

b-2c=0 a-2c=0

，取a=1，得

n

=（1，1，

1

2

），
∴cosθ=|cos＜

n

，

DD1

＞|=|

DD1 • n

| DD1 |•| n |

|=

1

3

．
∴平面A₁BC₁与平面ABCD的夹角θ的余弦值为

1

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面的夹角的余弦值的求法，涉及到三角形中位线定理、平行公理、向量法等知识点，是中档题．