Question

6．已知三棱锥P-ABC的各顶点在同一球面上，平面PAC⊥平面ABC，侧棱PA=PC=$\sqrt{2}$，AB=BC=1，∠ABC=90°．则该球的表面积为（　　）

• A． $\frac{8}{3}$π
• B． $\frac{8\sqrt{6}}{27}$π
• C． $\frac{16}{3}$π
• D． $\frac{32\sqrt{6}}{27}$π

Answer 1

分析 平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=90°，可得球心O在平面PAC上，且在AC边的高PO′上，利用△PAC为正三角形且边长为$\sqrt{2}$，可得PO′=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，利用勾股定理建立方程，求出R，即可求出三棱锥P-ABC的外接球的表面积．

解答 解：∵平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=90°，
∴球心O在平面PAC上，且在AC边的高PO′上
∵AB=BC=1，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{2}$，
∵PA=PC=$\sqrt{2}$，
∴△PAC为正三角形且边长为$\sqrt{2}$，
∴PO′=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R，则R²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-R）²，
∴R=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR²=$\frac{8}{3}$π．
故选：A．

点评 本题考查三棱锥P-ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球心的位置，求出三棱锥P-ABC的外接球的半径是关键．