题目内容

函数f（x）同时满足：
①对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2时，都有
f(x1)-f(x2)x1-x2
＞0，②对一切x∈R，恒有f（nx）=[f（x）]n（n∈N）．
写出一个满足上述条件的函数
 
．
分析：先根据条件可知函数的单调性，然后根据条件二可知函数的模型，从而可写出满足这两个条件的函数．
解答：解：∵对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2时，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0，
∴f（x）在R上单调递增
∵对一切x∈R，恒有f（nx）=[f（x）]n（n∈N）．
∴f（x）可以是一个指数函数
结合这两点可写出一个满足上述条件的函数 f（x）=2x
故答案为：f（x）=2x
点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及指数函数的基本性质，属于基础题，开放题．
练习册系列答案
相关题目
若函数f（x）同时满足下列三个性质：
①最小正周期为π；
②图象关于直线x=
π
3
对称；
③在区间[-
π
6
，
π
3
]上是增函数．
则y=f（x）的解析式可以是（　　）
A、y=sin（2x-
π
6
）
B、y=sin（
x
2
+
π
6
）
C、y=cos（2x-
π
6
）
D、y=cos（2x+
π
3
）
若函数f（x）同时满足下列三个性质：①偶函数；②在区间（0，1）上是增函数；③有最小值，则y=f（x）的解析式可以是（　　）
（2012•卢湾区一模）若函数f（x）同时满足下列三个条件：①有反函数 ②是奇函数 ③其定义域与值域相同，则函数f（x）可以是（　　）
已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
（1）f（x1+x2）+f（x1-x2）=2f（x1）cos2x2+4asin2x2（x1，x2∈R，a为常数）；
（2）f（0）=f（
π
4
）=1；
（3）当x∈[0，
π
4
]时，|f（x）|≤2
求：（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．
设定义在R的函数f（x）同时满足以下条件：
①f（x）+f（-x）=0；
②f（x）=f（x+2）；
③当0≤x＜1时，f（x）=2x-1．
则f(
1
2
)+f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)=（　　）
A、1
B、2(
2
-1)
C、
2
-1
D、3(
2
-1)

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