Question

14．设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x²-4（x＞0），则f（x）＞0的解集为（　　）

• A． （-2，2）
• B． （-4，4）
• C． （0，2）∪（4，+∞）
• D． （-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根据奇函数的性质和题意求出解析式，再对x进行分类利用二次不等式的解法求解不等式．

解答 解：∵函数f（x）是奇函数，
令x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=（-x）²-4=x²-4=-f（x），
∴f（x）=-x²+4，
则$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+4，x＜0}\end{array}\right.$，
当x＜0，
∴f（x）=-x²+4＞0，
解得-2＜x＜0，
当x＞0，
f（x）=x²-4＞0，
∴x＜-2或x＞2，又x＞0，
∴x＞2．
综上得，不等式的解集是：（-2，0）∪（2，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查函数为奇函数的性质，且解析式为分段函数问题，一元二次不等式的解法等知识，以及分类讨论思想，属于中档题．