Question

（1）已知角α终边经过点P（x，-

2

）（x≠0），且cosα=

3

6

x．求sinα+

1

tanα

的值．
（2）已知sin（3π-α）=-

2

cos（

3π

2

-β），

3

sin（

π

2

-α）=-

2

cos（π+β），α，β∈（0，π），求α，β的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,任意角的三角函数的定义

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）由于cosα=

x

x2+2

=

3

6

x．可解得x=±

10

，r=2

3

，由三角函数的定义，即可求出sinα+

1

tanα

的值．
（2）由诱导公式化简可得sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

sinβ，可解得cosβ=±

3

2

，由α，β∈（0，π），从而可求α，β的值．

解答： 解：（1）（满分14分）
∵P（x，-

2

） （x≠0），
∴点P到原点的距离r=

x2+2

又cosα=

3

6

x．∴cosα=

x

x2+2

=

3

6

x．
∵x≠0，∴x=±

10

，∴r=2

3

…（6分）
当x=

10

时，P点坐标为（

10

，-

2

），
由三角函数的定义，
有sin α=-

6

6

，

1

tanα

=-

5

，
∴sinα+

1

tanα

=-

6

6

-

5

=-

6 5 + 6

6

；…（10分）
当x=-

10

时，
同样可求得sin α+

1

tanα

=

6 5 - 6

6

…（14分）．
（2）∵sin（3π-α）=-

2

cos（

3π

2

-β），

3

sin（

π

2

-α）=-

2

cos（π+β），
∴由诱导公式化简可得sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

sinβ，
∴两边平方后相加可得：1=2sin2β+

2

3

cos2β，可解得cosβ=±

3

2

∵α，β∈（0，π），
∴可解得：α=

π

4

，β=

π

6

或α=

3π

4

，β=

5π

6

．

点评：本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用，任意角的三角函数的定义，解题时要注意讨论，不要丢值，属于基本知识的考察．