题目内容
5．设函数f（x）是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（ ）| A． | f（2）＞e2f（0），f（2016）＞e2016f（0） | B． | f（2）＜e2f（0），f（2016）＞e2016f（0） | ||
| C． | f（2）＜e2f（0），f（2016）＜e2016f（0） | D． | f（2）＞e2f（0），f（2016）＜e2016f（0） |
分析 构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求出F′（x）＜0，可得函数F（x）是定义在R上的减函数，故有F（2）＜F（0），推出f（2）＜e2f（0）．同理可得f（2016）＜e2016f（0），从而得出结论．
解答 解：令函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则F′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x）＜0，∴F′（x）＜0，
故函数F（x）是定义在R上的减函数，
∴F（2）＜F（0），即 $\frac{f（2）}{{e}^{2}}$＜$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，故有f（2）＜e2f（0）．
同理可得f（2016）＜e2016f（0）．
故选：C．
点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，属于中档题．
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