Question

15．已知长方体的宽与高相等，其外接球的半径为2，则长方体体积的最大值为$\frac{{64\sqrt{3}}}{9}$．

Answer 1

分析 设长、宽、高分别为a、b、b，则a²+b²+b²=16，即a²+2b²=16，求出长方体体积的表达式，利用导数，确定函数的单调性，即可求出长方体体积的最大值．

解答 解：设长、宽、高分别为a、b、b，则a²+b²+b²=16，即a²+2b²=16，
${V_{长方体}}=a{b^2}=a×\frac{{（16-{a^2}）}}{2}$，
令$f（x）=\frac{{x（16-{x^2}）}}{2}=\frac{{16x-{x^3}}}{2}$，则${f^'}（x）=8-\frac{3}{2}{x^2}=0$，
解得$x=-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$（舍去）或$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
当$x∈（0，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}）$时，f′（x）＞0，$x∈（\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，+∞）$时，f′（x）＜0，
所以$f{（x）_{max}}=f（\frac{{4\sqrt{3}}}{3}）=\frac{{64\sqrt{3}}}{9}$，即长方体体积的最大值为$\frac{{64\sqrt{3}}}{9}$．
故答案为：$\frac{{64\sqrt{3}}}{9}$．

点评 本题考查长方体体积的最大值，考查导数知识的运用，正确求出长方体体积，利用导数是关键．