Question

9．设函数f（x）=4x³+$\frac{1}{（1+x）^{2}}$，x∈[0，1]，证明：
（Ⅰ）f（x）≥1-2x+3x²；
（Ⅱ）$\frac{2}{3}$＜f（x）≤$\frac{17}{4}$．

Answer 1

分析 （I）构造函数g（x）=（1+x）²（1-2x+3x²-4x³），判断g（x）的单调性得出最大值，化简即可得出结论；
（II）判断f（x）的单调性即可f（x）的最大值，利用（I）得出f（x）＞$\frac{2}{3}$．

解答 证明：（I）令g（x）=（1+x）²（1-2x+3x²-4x³），x∈[0，1]，
则g′（x）=-20（1+x）x³≤0，当且仅当x=0时取等号，
∴g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）≤g（0）=1，
∴（1+x）²（1-2x+3x²-4x³）≤1，
∴$\frac{1}{（1+x）^{2}}+4{x}^{3}$≥1-2x+3x²，
即f（x）≥1-2x+3x²．
（II）由（I）知f（x）≥1-2x+3x²=3（x-$\frac{1}{3}$）²≥$\frac{2}{3}$，
∵两处等号不能同时成立，
∴f（x）＞$\frac{2}{3}$．
f′（x）=12x²-$\frac{2}{（1+x）^{3}}$=$\frac{2[6{x}^{2}（1+x）^{3}-1]}{（1+x）^{3}}$，
令h（x）=6x²（1+x）³-1，则f（x）在[0，1]上单调递增，
∵h（0）=-1，h（1）=47＞0，
∴h（x）在（0，1）上存在唯一一个零点x₀，
∴当0＜x＜x₀时，f′（x）＜0，当x₀＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，1]上先减后增，
又f（0）=1，f（1）=$\frac{17}{4}$，
∴f（x）≤f（1）=$\frac{17}{4}$．
综上，$\frac{2}{3}＜$f（x）≤$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查了不等式证明与函数恒成立问题，函数单调性判断与最值计算，属于中档题．