Question

20．已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且满足（2c-b）cosA=acosB
（1）求A的大小；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理和三角函数公式可得cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理结合基本不等式可得4=b²+c²-bc≥2bdc-bc，可得bc的最大值，进而可得△ABC的面积的最大值．

解答 解：（1）∵（2c-b）cosA=acosB，
∴由正弦定理可得（2sinA-sinB）cosA=sinAcosB，
变形可得2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，
∵C为三角形的内角，sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
代入数据可得4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c时取等号，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\sqrt{3}$，当且仅当b=c时取等号，
∴△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正，余弦定理在解三角形中的应用，涉及基本不等式求最值，属基础题．