Question

1．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=3，S₅=25．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n项和为T_n，是否存在k∈N^*，使得等式2-2T_k=$\frac{1}{3^k}$成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得首项和公差的方程组，解方程组代入通项公式公式计算可得．
（2）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）设等差数列的公差为d，
则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=3}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=25}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）得$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
所以数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．…（8分）
因为$2-2{T_k}=2-\frac{2k}{2k+1}=1+\frac{1}{2k+1}$，而$\left\{{\frac{1}{2k+1}}\right\}$单调递减，
所以$1＜2-2{T_k}=1+\frac{1}{2k+1}≤\frac{4}{3}$，…（10分）
又$\frac{1}{3^k}∈（{0，\frac{1}{3}}]$，
所以不存在k∈N^*，使得等式$2-2{T_k}=\frac{1}{3^k}$成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”与数列的单调性，属于中档题．