Question

6．已知椭圆的两焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），P为椭圆上一点，且2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|．
（1）求此椭圆方程；
（2）若点P 是椭圆上的点且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得：c=1，a²=b²+c²．由2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|可得4c=2a，联立解出即可得出．
（2）利用椭圆的定义、余弦定理可得mn，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得：c=1，a²=b²+c²．
由2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|可得4c=2a，即a=2c，联立解得：a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n．
则m+n=4，
∵∠F₁PF₂=60°，∴cos60°=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-{2}^{2}}{2mn}$=$\frac{1}{2}$，化为：m²+n²=mn+4，
∴（m+n）²=3mn+4，即4²=3mn+4，解得mn=4．
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}mnsin6{0}^{°}$=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．