Question

8．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}-1，x＞1}\\{2-{e^x}，x≤1}\end{array}}\right.$，若函数h（x）=f（x）-mx-2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是（-∞，-e]∪{0}∪{-$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 画出图象f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x-1}，x＞1}\\{2-{e}^{x}，x≤1}\end{array}\right.$
转化为函数f（x）与y=mx-2有且仅有一个公共点，分类讨论，①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点；
②当y=mx+2与y=$\frac{2}{x-1}$相切，结合导数求解即可，求解相切问题；
③y=mx+2过（1，2-e）（0，2），动态变化得出此时的m的范围．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}-1，x＞1}\\{2-{e}^{x}，x≤1}\end{array}\right.$
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x-1}，x＞1}\\{2-{e}^{x}，x≤1}\end{array}\right.$
∵函数h（x）=f（x）-mx-2有且仅有一个零点，
∴f（x）与y=mx+2有一个公共点
∵直线y=mx+2过（0，2）点
①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点
②当y=mx+2与y=$\frac{2}{x-1}$相切
即y′=$-\frac{2}{（x-1）^{2}}$
切点（x₀，$\frac{1}{{x}_{0}-1}$），m=-$\frac{2}{（{x}_{0}-1）^{2}}$
$\frac{1}{{x}_{0}-1}$=-$\frac{2{x}_{0}}{（{x}_{0}-1）^{2}}$+2，x₀＞1
x₀=$\frac{1}{2}$（舍去），x₀=3
∴m=$-\frac{2}{（3-1）^{2}}$=$-\frac{1}{2}$
③y=mx+2过（1，2-e），（0，2）
m=-e
当m≤-e时，f（x）与y=mx+2有一个公共点

故答案为：（-∞，-e]∪{0}∪{-$\frac{1}{2}$}

点评 本题考查了函数单调性，极值与零点个数的关系，函数单调性的判断，属于难题．