Question

6．定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果?ξ∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：①f（x）=3x+2；②f（x）=x²；③f（x）=ln（x+1）；④$f（x）={（{x-\frac{1}{2}}）^3}$中，在区间[0，1]上“中值点”多于1个的函数是（　　）

• A． ①④
• B． ①③
• C． ②④
• D． ②③

Answer 1

分析 根据“中值点”的几何意义是在区间[a，b]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a，b]的两个端点连线的斜率值．由此定义并结合函数的图象与性质，对于四个选项逐一判断，即得出正确答案．

解答 解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[a，b]上存在点，
使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a，b]的两个端点连线的斜率值．
对于①，根据题意，在区间[a，b]上的任一点都是“中值点”，f′（x）=3，
满足f（b）-f（a）=f′（x）（b-a），∴①正确；
对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[a，b]只存在一个“中值点”，∴②不正确；
对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[a，b]只存在一个“中值点”，∴③不正确；
对于④，∵f′（x）=3（x-$\frac{1}{2}$）²，且f（1）-f（0）=$\frac{1}{4}$，1-0=1；
∴3（x-$\frac{1}{2}$）²×1=$\frac{1}{4}$，解得x=$\frac{1}{2}$±$\frac{\sqrt{3}}{6}$∈[0，1]，
∴存在两个“中值点”，④正确．
故选：A

点评 本题考查了新定义的命题真假的判断问题，重点是对导数及其几何意义的理解与应用问题，是中档题．