Question

10．写出下列命题的否定并判断其真假：
（1）p：不论m取何实数值，方程x²+mx-1=0必有实数根；
（2）p：有的三角形的三条边相等；
（3）p：菱形的对角线互相垂直；
（4）p：存在x∈N，x²-2x+1≤0．

Answer 1

分析 根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题进行求解判断即可．

解答 解：（1）p：不论m取何实数值，方程x²+mx-1=0必有实数根；
￢p：存在一个实数m，方程x²+mx-1=0没有实数根；
若方程没有实数根，则判别式△=m²+4＜0，此时不等式无解，即￢p为假命题．
（2）p：有的三角形的三条边相等；
￢p：所有的三角形的三条边不都相等，为假命题，正三角形的三条边相等，则命题p是真命题，则￢p是假命题．
（3）p：菱形的对角线互相垂直；则p是真命题，
￢p：存在一个菱形，则它的对角线互相不垂直，∵p是真命题，∴￢p是假命题
（4）p：存在x∈N，x²-2x+1≤0．
￢p：任意x∈N，x²-2x+1＞0．
∵x²-2x+1=（x-1）²，
∴当x=1时，x²-2x+1=（x-1）²=0，则命题￢p为假命题．

点评 本题主要考查命题的真假判断以及含有量词的命题的否定，利用定义法是解决本题的关键．