Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦点分别是M、N．正三角形AMN的一边AN与双曲线右支交于点B，且

AN

=4

BN

，则双曲线C的离心率为（　　）

• A、

  3

  2

  +1
• B、

  13 +1

  3

• C、

  13

  3

  +1
• D、

  3 +1

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先利用已知条件得到三角形AMN的边长，再结合余弦定理即可

解答：解：因为正三角形AMN，其边长MN=2c，

AN

=4

BN

，设|

BN

|=m，则|

AN

|=4m=2c，解得m=

c

2

，根据双曲线的定义可得|

BM

|=2a+m=2a+

c

2

，在三角形AMN中，由余弦定理cos600=

4c2+ c2 4 -(2a+ c 2 )2

2×2c× c 2

=

1

2

，整理得：3e²-2e-4=0，即e=

13 +1

3

，或 e=

- 13 +1

3

（舍去），
故选B．

点评：本题考查双曲线的性质；余弦定理的应用，基本知识的考查．