Question

1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为2$\sqrt{5}$，它的一个顶点恰好是抛物线x²=4y的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若$\overrightarrow{MA}$-λ₁$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{MB}$-λ₂$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{0}$，求证：$\frac{1}{2}$（λ₁+λ₂）为定值．

Answer 1

分析 （I）设椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），抛物线x²=4y的焦点为（0，1）．可得b=1，又2a=2$\sqrt{5}$，可得a．即可得出椭圆C的标准方程．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀）．F（2，0）．由$\overrightarrow{MA}$-λ₁$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{0}$，可得x₁=$\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$，y₁=$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$．代入椭圆方程可得：${λ}_{1}^{2}+10{λ}_{1}$+5-5${y}_{0}^{2}$=0，由$\overrightarrow{MB}$-λ₂$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{0}$，同理可得：${λ}_{2}^{2}+10{λ}_{2}$+5-5${y}_{0}^{2}$=0，可得λ₁，λ₂是一元二次方程：x²+10x+5-5${y}_{0}^{2}$=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可证明．

解答 （I）解：设椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
抛物线x²=4y的焦点为（0，1），∴b=1，
又2a=2$\sqrt{5}$，∴a=$\sqrt{5}$．
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}$=1．
（II）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀）．F（2，0）．
∵$\overrightarrow{MA}$-λ₁$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{0}$，∴（x₁，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁），x₁=$\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$，y₁=$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$．
代入椭圆方程可得：$\frac{1}{5}（\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}）^{2}$+$（\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}）^{2}$=1，化为：${λ}_{1}^{2}+10{λ}_{1}$+5-5${y}_{0}^{2}$=0，
由$\overrightarrow{MB}$-λ₂$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{0}$，同理可得：${λ}_{2}^{2}+10{λ}_{2}$+5-5${y}_{0}^{2}$=0，
∴λ₁，λ₂是一元二次方程：x²+10x+5-5${y}_{0}^{2}$=0的两个实数根，
∴λ₁+λ₂=-10，
∴$\frac{1}{2}$（λ₁+λ₂）=-5为定值．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．