Question

10．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．已知函数g（x）=x²与h（x）=2^x-b是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．

Answer 1

分析 （1）根据G函数的定义，验证函数g（x）是否满足条件．即可
（2）若函数h（x）是G函数根据条件结合函数的单调性进行判断求解即可．

解答 解：（1）是，理由如下：
当x∈[0，1]时，总有g（x）=x²≥0，满足①，
当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，
g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁x₂≥x₁²+x₂²=g（x₁）+g（x₂），满足②…（4分）
（2）h（x）=2^x-b为增函数，h（x）≥h（0）=1-b≥0，
∴b≤1，
由h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-b≥$${2}^{{x}_{1}}$-b+${2}^{{x}_{2}}$-b，
即b≥1-（${2}^{{x}_{1}}$-1）（${2}^{{x}_{2}}$-1），
∵x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
∴0≤${2}^{{x}_{1}}$-1≤1，0≤${2}^{{x}_{2}}$-1≤1，x₁，x₂不同时等于1
∴0≤（${2}^{{x}_{1}}$-1）（${2}^{{x}_{2}}$-1）＜1；
∴0＜1-（${2}^{{x}_{1}}$-1）（${2}^{{x}_{2}}$-1）≤1，
当x₁=x₂=0时，1-（${2}^{{x}_{1}}$-1）（${2}^{{x}_{2}}$-1）的最大值为1；
∴b≥1，则b=1，
综合上述：b∈{1}　…（12分）

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据抽象函数图象判断条件是否成立是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．