Question

6．满足不等式|x-A|＜B（B＞0，A∈R）的实数x的集合叫做A的B邻域，若a+b-2的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的取值范围是$（-∞，\frac{1}{2}]∪[\frac{9}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 先根据条件求出-2＜x＜2（a+b）-2；再结合而邻域是一个关于原点对称的区间域得到a+b=2，再构造函数f（x）=$\frac{1}{2-x}$+$\frac{4}{x}$，利用导数求出函数的值域．

解答 解：∵A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，
∴|x-（a+b-2）|＜a+b⇒-2＜x＜2（a+b）-2，
而邻域是一个关于原点对称的区间域，可得a+b-2=0⇒a=2-b．
$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=$\frac{1}{2-b}$+$\frac{4}{b}$，
设f（x）=$\frac{1}{2-x}$+$\frac{4}{x}$，x≠0且x≠2
∴f′（x）=$\frac{1}{（x-2）^{2}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{-（x-4）（3x-4）}{（x-2）^{2}{x}^{2}}$
当f′（x）＞0是，解得$\frac{4}{3}$＜x＜4，且x≠2，
当f′（x）＜0是，解得x＜$\frac{4}{3}$或x＞4，且x≠0，
∴函数f（x）在（$\frac{4}{3}$，2），（2，4）上单调递增，函数f（x）在（-∞，0），（0，$\frac{4}{3}$），（4，+∞）上单调递减，
∴当x=4时，函数有极大值，即f（4）=-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{1}{2}$，
当x=$\frac{4}{3}$时，函数有极小值，即f（$\frac{4}{3}$）=-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{9}{2}$，
∴f（x）的值域为$（-∞，\frac{1}{2}]∪[\frac{9}{2}，+∞）$．
故则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的取值范围是$（-∞，\frac{1}{2}]∪[\frac{9}{2}，+∞）$．

点评 本题主要考查了新定义的应用和导数和函数的极值的应用，属于中档题