Question

8．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，AB=2EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直．
（I）证明：OF∥平面BEC；
（Ⅱ）证明：平面ADF⊥平面BCF．

Answer 1

分析 （I）先证四边形OBEF为平行四边形，可得OF∥BE，即可证明OF∥平面BEC；
（Ⅱ）由面面垂直可得AD⊥平面ABEF，从而得到AD⊥BF，由直径的性质得BF⊥AF，故得出BF⊥平面ADF，从而得出平面DAF⊥平面CBF．

解答 证明：（I）∵AB为圆O的直径，AB=2EF，AB∥EF，
∴BO=EF，BO∥EF，
∴四边形OBEF为平行四边形，
∴OF∥BE，
又BE?平面BEC，OF?平面BEC，∴OF∥平面BEC；
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD
∴AD⊥平面ABEF，∵BF?平面ABE，
∴AD⊥BF，
∵AB是圆O的直径，
∴BF⊥AF，又AD?平面ADF，AF?平面ADF，AD∩AF=A，
∴BF⊥平面ADF，∵BF?平面BCF，
∴平面DAF⊥平面CBF．

点评 本题考查了线面平行、垂直的判定，考查面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．