Question

14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足$\frac{a-b+c}{b}≤\frac{c}{a+b-c}$，则角A的范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{π}{6}}]$
• B． $（{0，\frac{π}{3}}]$
• C． $[{\frac{π}{6}，π}）$
• D． $[{\frac{π}{3}，π}）$

Answer 1

分析 由已知可得（a-b+c）（a+b-c）≤bc，整理可得：b²+c²-a²≥bc，利用余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≥$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，利用余弦函数的图象和性质即可得解A的范围．

解答 解：∵$\frac{a-b+c}{b}≤\frac{c}{a+b-c}$，
又∵由于三角形两边之和大于第三边，可得a+c-b＞0，a+b-c＞0，且b，c＞0，
∴（a-b+c）（a+b-c）≤bc，整理可得：b²+c²-a²≥bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≥$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，$\frac{π}{3}$）．
故选：B．

点评 本题主要考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和数形结合能力，属于中档题．