Question

15．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n-2ⁿ，则a₁₇（　　）

• A． -15×2¹⁶
• B． 15×2¹⁷
• C． -16×2¹⁶
• D． 16×2¹⁷

Answer 1

分析 a_n+1=2a_n-2ⁿ，变形为$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=-$\frac{1}{2}$，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2a_n-2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，公差为-$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{2-n}{2}$，
可得a_n=（2-n）•2^n-1，
∴a₁₇=-15×2¹⁶．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．