Question

12．若x，y满足x²-2xy+3y²=4，则$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$最大值与最小值的和是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 设x=rcosα，y=rsinα，（r＞0），α∈[0，2π）．代入x²-2xy+3y²=4，可得$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（cos²α-2cosαsinα+3sin²α）=$\frac{1}{4}$（2-cos2α-sin2α），再利用和差公式、三角函数的单调性值域即可得出．

解答 解：设x=rcosα，y=rsinα，（r＞0），α∈[0，2π）．
∵x²-2xy+3y²=4，
∴r²cos²α-2rcosαrsinα+3r²sin²α=4，
∴r²（cos²α-2cosαsinα+3sin²α）=4，
∴$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（cos²α-2cosαsinα+3sin²α）=$\frac{1}{4}$（1+2sin²α-sin2α）=$\frac{1}{4}$（2-cos2α-sin2α）$\frac{1}{4}$$[2-\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）]$∈$[\frac{2-\sqrt{2}}{4}，\frac{2+\sqrt{2}}{4}]$，
∴$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$最大值与最小值的和=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$+$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$=1．
故选：B．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、和差公式与倍角公式、三角函数的单调性值域，考查了换元方法、推理能力与计算能力，属于中档题．