Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n-a_n-1=2（n≥2）
（I）求数列{a_n}的通项公式和它的前n项和S_n；
（Ⅱ）设b_n=（a_n+1）•2^a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式、前n项和即可得出；
（Ⅱ）b_n=n•4ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）由题意，数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n-1，S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（II）b_n=（a_n+1）•2^a_n=n•4ⁿ，
∴T_n=1•4+2×4²+…+n•4ⁿ，
4T_n=1•4²+2×4³+…+n•4ⁿ⁺¹，
∴-3T_n=4+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{1-3n}{3}×{4}^{n+1}$-$\frac{4}{3}$，
∴${T_n}=\frac{{4+（3n-1）•{4^{n+1}}}}{9}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．