Question

1．已知△OFQ的面积为S，且$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{FQ}$=1，若$\frac{1}{2}$＜S＜2，则向量$\overrightarrow{OF}$与$\overrightarrow{FQ}$夹角θ的正切值的取值范围是（1，4）．

Answer 1

分析 可画出图形，根据条件即可得出$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{OF}||\overrightarrow{FQ}|sinθ$，$|\overrightarrow{OF}||\overrightarrow{FQ}|cosθ=1$，从而可求得tanθ=2S，根据$\frac{1}{2}＜S＜2$便可求得tanθ的取值范围．

解答 解：如图，

据题意，$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{OF}||\overrightarrow{FQ}|sinθ$，$|\overrightarrow{OF}||\overrightarrow{FQ}|cosθ=1$；
∴$sinθ=\frac{2S}{|\overrightarrow{OF}||\overrightarrow{FQ}|}，cosθ=\frac{1}{|\overrightarrow{OF}||\overrightarrow{FQ}|}$；
∴$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}=2S$；
又$\frac{1}{2}＜S＜2$；
∴1＜tanθ＜4；
即向量$\overrightarrow{OF}，\overrightarrow{FQ}$夹角θ的正切值的取值范围为（1，4）．
故答案为：（1，4）．

点评 考查三角形的面积公式，向量数量积的计算公式，以及弦化切公式，不等式的性质．