Question

18．已知复数z₁=m+（1-m²）•i（m∈R），z₂=cosθ+（λ+2sinθ）•i（λ，θ∈R）．
（1）当m=3时，求z₁的虚部；
（2）若z₁=z₂，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将m代入，化简复数即可；
（2）利用复数相等的充要条件，消去m，得到用sinθ表示的λ的表达式，利用三角函数的有界性求范围．

解答 解：（1）当m=3时，z₁=3-8i虚部为-8； （4分）
（2）由z₁=z₂，得$\left\{\begin{array}{l}{m=cosθ}\\{1-{m}^{2}=λ+2sinθ}\end{array}\right.$．消去m可得λ=（sinθ-1）²-1．
由于-1≤sinθ≤1，可得-1≤λ≤0．（8分）

点评 本题考查了复数的运算以及三角函数的化简和参数范围的求法；关键是用sinθ表示λ，借助于三角函数的有界性求范围．