已知抛物线C的标准方程为y2=2px.M为抛物线C上一动点.A为其对称轴上一点.直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时.△MON的面积为18．(1)求抛物线C的标准方程,(2)记t=$\frac{1}{{|{AM}|}}+\frac{1}{{|{AN}|}}$.若t值与M点位置无关.则称此时的点A为“稳定点 .试求出所有“稳� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知抛物线C的标准方程为y²=2px（p＞0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）记t=$\frac{1}{{|{AM}|}}+\frac{1}{{|{AN}|}}$，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．

分析（1）根据三角形的面积公式求出p的值即可；
（2）设出直线MN的方程，联立方程组，得到关于y的一元二次方程，通过讨论a的符号结合二次函数的性质解出即可．

解答解：（1）由题意，${S_{△MON}}=\frac{1}{2}•|OA|•|MN|=\frac{1}{2}•\frac{p}{2}•2p=\frac{p^2}{2}=18$，
∴p=6，
抛物线C的标准方程为y²=12x．…（5分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设直线MN的方程为x=my+a，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+a\;}\\{{y^2}=12x\;\;}\end{array}}\right.$得y²-12my-12a=0，
△=144m²+48a＞0，y₁+y₂=12m，y₁y₂=-12a，
由对称性，不妨设m＞0，
（ⅰ）a＜0时，∵y₁y₂=-12a＞0，∴y₁，y₂同号，
又$t=\frac{1}{|AM|}+\frac{1}{|AN|}=\frac{1}{{\sqrt{1+{m^2}}|{y_1}|}}+\frac{1}{{\sqrt{1+{m^2}}|{y_2}|}}$，
∴${t^2}=\frac{1}{{1+{m^2}}}•\frac{{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}}}{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}=\frac{1}{{1+{m^2}}}•\frac{{144{m^2}}}{{144{a^2}}}=\frac{1}{a^2}（{1-\frac{1}{{1+{m^2}}}}）$，
不论a取何值，t均与m有关，即a＜0时，A不是“稳定点”；
（ⅱ）a＞0时，∵y₁y₂=-12a＜0，∴y₁，y₂异号，
又$t=\frac{1}{|AM|}+\frac{1}{|AN|}=\frac{1}{{\sqrt{1+{m^2}}|{y_1}|}}+\frac{1}{{\sqrt{1+{m^2}}|{y_2}|}}$，
∴${t^2}=\frac{1}{{1+{m^2}}}•\frac{{{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}}{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}$
=$\frac{1}{{1+{m^2}}}•\frac{{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}}{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}$
=$\frac{1}{{1+{m^2}}}•\frac{{144{m^2}+48a}}{{144{a^2}}}$
=$\frac{1}{a^2}（{1+\frac{{\frac{1}{3}a-1}}{{1+{m^2}}}}）$，
∴仅当$\frac{1}{3}a-1=0$，即a=3时，t与m无关，
∴所求的“稳定点”为（3，0）…（12分）