Question

在实数R中定义一种运算“*”，具有下列性质：
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b，c∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）-2c．
则函数f(x)=x*

x

2

x∈R的单调递减区间是

 

．

Answer 1

分析：准确理解运算“*”的性质：①满足交换律，②a*0=a；③，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）-2c，故有：a*b=（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（b*0）-2×0；代入可得答案．

解答：解：在（3）中，令c=0，则 a*b=ab+a+b?f(x)=x*

x

2

=

x2

2

+

3x

2

，
=

1

2

（x+

3

2

）²-

9

8

，
易知函数f（x）的单调递减区间为 (-∞，-

3

2

)，
故答案为(-∞，-

3

2

)．

点评：此题是个中档题．本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力．